Analysis Beispiele

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $\frac{- x}{y}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

Schritt 1.5

Stelle $x$ und $\frac{- 1}{y}$ um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = \frac{- 1}{y}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{y}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| y |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (y)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = (2 y + C) y$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(2 y + C) y$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 2 y \cdot y + C y$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

Schritt 8.3.2.1.3

Stelle $2 y^{2}$ und $C y$ um.

$x = C y + 2 y^{2}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $y$ und $5$ für $x$ in $x = C y + 2 y^{2}$ ersetzt wird.

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ um.

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Schritt 10.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$C + 2 = 5$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 5 - 2$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$C = 3$

Schritt 11

Setze $3$ für $C$ in $x = C y + 2 y^{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$