Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1 + 4 y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $1$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{1}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ als $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ um.

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$