Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y e^{x^{2}}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{- x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{e^{x^{2}} y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $e^{x^{2}} y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{- x \cdot 1}{e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{- x}{e^{x^{2}}}$

Schritt 1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x^{2}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{x^{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x^{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2.2.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.3.3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.3.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{u_{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$