Analysis Beispiele

$x y^{2} d x - x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y^{2} d y = - x y^{2} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ in den Zähler.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} (x)} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} x} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$- y + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$y = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$y = \ln (| x |) - C$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \ln (| x |) + C$