Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (7 x) d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 2.3.4.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{\sec^{2} (u)}{7} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\frac{1}{7} \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 2.3.7

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \frac{1}{7} (\tan (u) + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (u) + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (7 x) + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C$