Analysis Beispiele

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 y^{3} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3}$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 6 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y^{2} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 6 y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} + 3 y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $3 x y^{2} + x^{3}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x y^{2} + x^{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x y^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - 3 y^{2}$ und $3 y^{2} + x^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x^{2} + 3 y^{2})$ als $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ um.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Schritt 4.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Schritt 4.3.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 2 y^{3} + 1$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 2 y^{3} + 1$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.6

Schreibe $- (2 y^{3} - 1)$ als $- 1 (2 y^{3} - 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $3 x y^{2} + x^{3}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $3 x y^{2} + x^{3}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.10

Faktorisiere $x$ aus $3 x y^{2} + x^{3}$ heraus.

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Schritt 6.10.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x y^{2}$ heraus.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.10.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Schritt 8.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

Schritt 8.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

Schritt 8.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ .

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Schritt 11.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ und $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + x^{2} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.3

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.6

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 11.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.10

Addiere $0$ und $2 y x$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.12

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.13

Kombiniere $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 11.3.15.1

Faktorisiere $x$ aus $2 y x$ heraus.

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.15.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.16

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.16.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.20

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.21

Um $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.23

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.3.25

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.3

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.8

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 11.5.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.11.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.13

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.14

Addiere $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.15

Schreibe $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ als ein Produkt um.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.17

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.5.3.17.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 11.5.3.17.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.17.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Addiere $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Addiere $- 2 y^{3}$ und $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{1}{x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x^{3}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 13.3

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 13.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Schritt 13.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 13.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.6.1

Schreibe $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 13.6.2

Vereinfache.

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Schritt 13.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Schritt 13.6.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Schritt 13.6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $y^{3} + x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} + x^{2} y$ heraus.

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Schritt 15.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.2

Um $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.5.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 15.5.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.5.6

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$