Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y - 4$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y - 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot - 2$ heraus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2 y - 4$ mit $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 y - 4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ heraus.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $(3 x - 2) (x + 2)$ durch $1$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

Schritt 1.2.6

Multipliziere $(3 x - 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

Schritt 1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

Schritt 1.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

Schritt 1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $2 x$ von $6 x$ .

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

Schritt 3.1.3

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Schreibe $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$