Analysis Beispiele

$(1 + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + y^{2}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y d y = - (1 + y^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x (y)) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + y^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (1 + y^{2})}$ in den Zähler.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $x (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Schritt 5.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

Schritt 5.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | x^{2}) = 2 C$

Schritt 5.4.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| 1 + y^{2} | x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |)} = e^{2 C}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = x^{2} | 1 + y^{2} |$

Schritt 5.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ um.

$x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$

Schritt 5.7.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Schritt 5.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Schritt 5.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 + y^{2} |$ durch $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Schritt 5.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Schritt 5.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

Schritt 5.7.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$