Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x^{2} + x}{y + 3}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x}{y + 3}$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 3}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 3}$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x (x + 1)}{y + 3}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{x (x + 1)}{y + 3}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y + 3) d y = (x^{2} + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y + 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $\frac{x^{3}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $6$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} + 6 (3 y) + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$3 y^{2} + 18 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{3}$ in den Zähler.

$3 y^{2} + 18 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 y^{2} + 18 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} + 18 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} + 18 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$3 y^{2} + 18 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $18 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 18 y = 0$

Schritt 3.4.4

Stelle $3 y^{2}$ und $- 2 x^{3}$ um.

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 18 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 18$ und $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5

Faktorisiere $12$ aus $324 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ heraus.

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Schritt 3.7.1.5.1

Faktorisiere $12$ aus $324$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.2

Faktorisiere $12$ aus $24 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.3

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.4

Faktorisiere $12$ aus $72 K$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (27) + 12 (2 x^{3})$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.6

Faktorisiere $12$ aus $12 (27 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5.7

Faktorisiere $12$ aus $12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $12 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ als $2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ um.

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Schritt 3.7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{4 (3) (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 18 \pm 2 \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 9 \pm \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 27)}}{3}$

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 27)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{9 - \sqrt{3 (27 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{9 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$