Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 y + x^{2} + 5$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = x^{2} + 5$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 5$

Schritt 3.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} x^{2} + 5 e^{- 2 x}$ um.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} + 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- 2 x} y = \int x^{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.4

Da $- \frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.5.5

Mutltipliziere $\int e^{- 2 x} (x) d x$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.7.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.8

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.10

Sei $u_{1} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.10.1

Es sei $u_{1} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.10.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.10.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.10.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.11.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.14

Vereinfache.

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Schritt 7.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.15

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.16

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.17

Sei $u_{2} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.17.1

Es sei $u_{2} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.17.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.17.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.17.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 7.18

Vereinfache.

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Schritt 7.18.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 7.18.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 7.19

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 7.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 7.21

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 5 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7.22

Vereinfache.

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Schritt 7.22.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.22.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.23

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 7.24

Vereinfache.

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Schritt 7.24.1

Vereinfache.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.24.2

Vereinfache.

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Schritt 7.24.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.24.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.24.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.24.2.4

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.25

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.25.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.25.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 7.26

Vereinfache.

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Schritt 7.26.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 7.26.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Schritt 7.27

Stelle die Terme um.

$e^{- 2 x} y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{e^{- 2 x}}{2} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8.1.5

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5}{2} e^{- 2 x} + C$

Schritt 8.1.6

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{5}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ durch $e^{- 2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C$ durch $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{x e^{- 2 x}}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x}}{4}}{e^{- 2 x}} + \frac{- \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cdot 5}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.3

Um $- \frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 e^{- 2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} - \frac{5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.5.2.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- e^{- 2 x} - 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 8.2.3.5.2.1.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 - 5 e^{- 2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.1.1.2

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 5 e^{- 2 x} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.1.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} \cdot - 1 + e^{- 2 x} (- 5 \cdot 2)$ heraus.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 5 \cdot 2)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 1 - 10)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.1.3

Subtrahiere $10$ von $- 1$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.2

Bringe $- 11$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 11 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.2

Faktorisiere $x e^{- 2 x}$ aus $- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 8.2.3.6.2.1

Faktorisiere $x e^{- 2 x}$ aus $- x^{2} e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) - x e^{- 2 x}}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.2.2

Faktorisiere $x e^{- 2 x}$ aus $- x e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.2.3

Faktorisiere $x e^{- 2 x}$ aus $x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} (- 1)$ heraus.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.3

Um $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.6.4.1

Mutltipliziere $\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1)}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2}{4} - \frac{11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} (- x - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{(x e^{- 2 x} (- x) + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x + x e^{- 2 x} \cdot - 1) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{(- x e^{- 2 x} x - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.6.6.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.3.6.6.4.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{\frac{(- (x \cdot x) e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - 1 \cdot (x e^{- 2 x})) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.4.2

Schreibe $- 1 (x e^{- 2 x})$ als $- (x e^{- 2 x})$ um.

$y = \frac{\frac{(- x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}) \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{- x^{2} e^{- 2 x} \cdot 2 - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} \cdot 2 - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{\frac{- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.8

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 2 x^{2} e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}$ heraus.

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Schritt 8.2.3.6.6.8.1

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 2 x^{2} e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) - 2 x e^{- 2 x} - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.8.2

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 2 x e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) - 11 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.8.3

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $- 11 e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.8.4

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.6.8.5

Faktorisiere $e^{- 2 x}$ aus $e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.7

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.8

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2} - 2 x - 11) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (- 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.10.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.6.10.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 11 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.10.2.3

Bringe $- 11$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.6.10.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ mit $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} x^{2} - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{- 2 x} x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - 2 e^{- 2 x} x - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 e^{- 2 x} x$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{- 2 x} x^{2}) - (2 e^{- 2 x} x)$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - 11 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 11 e^{- 2 x}$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x) - (11 e^{- 2 x})$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $4 C$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ heraus.

$y = \frac{- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.16.1

Schreibe $- (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ als $- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)$ um.

$y = \frac{- 1 (2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.16.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.3.16.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{2 e^{- 2 x} x^{2} + 2 e^{- 2 x} x + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ um.

$y = - \frac{2 x^{2} e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x} + 11 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$