Analysis Beispiele

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ durch $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ durch $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Schritt 1.1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ als $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ als ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Schritt 1.1.3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + 2 x$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.1.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.1.1.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Schritt 2.3.1.1.4.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Schritt 2.3.1.1.4.3.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Schritt 2.3.1.1.4.3.6

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Schritt 2.3.1.1.4.3.7

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$- 8 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Schreibe $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$