Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $s$ aus $\frac{s}{t}$ heraus.

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Schritt 1.3

Stelle $s$ und $\frac{1}{t}$ um.

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{t}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (t)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

Schritt 7.2

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

Schritt 7.4

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Addiere $- \cos (t)$ und $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

Schritt 7.5.2.2

Addiere $t \sin (t)$ und $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $t s = t \sin (t) + C$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $t s = t \sin (t) + C$ durch $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $s$ durch $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2

Dividiere $\sin (t)$ durch $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$