Analysis Beispiele

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x y - 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 3 y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = 3 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3 y$ .

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y - 1 \cdot 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y}{y^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ersetze $M$ durch $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

Schritt 4.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3 x y - 1$ mit $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $y$ .

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

Schritt 6.6

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2}$ und $- 3 y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

Schritt 12.1.2.2

Subtrahiere $3 y^{2} x$ von $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 15

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$