Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (x) + \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int \cos (x) d x + \int \sin (x) d x)$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} + \int \sin (x) d x)$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} - \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \sin (x) + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (x)}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \sin (x) - \cos (x) + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$