Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Subtrahiere $V$ von $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Um $\frac{V}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $V x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{V}{x}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

Schritt 6.1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $x V$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 + V^{2}}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.5.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

Schritt 6.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

Schritt 6.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V^{2}$ .

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Schritt 6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = 1 + V^{2}$ . Dann ist $d u = 2 V d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = 1 + V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 V$ .

$2 V$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 6.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Schritt 6.3.6

Schreibe $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} x^{2}$ um.

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Schritt 6.3.7.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$