Analysis Beispiele

$(1 + y^{2}) d x = x d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x d y = (1 + y^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} x d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $x (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$