Analysis Beispiele

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ durch $2 x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ durch $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3

Spalte $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Bruch $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.4

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.4.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{y}{2 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.5

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Schritt 1.5.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Forme um.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.5

Multipliziere $\frac{V^{2}}{2} V$ .

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Schritt 6.1.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{V^{2}}{2}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2

Multipliziere $V^{2}$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.5.2.1

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $V$ .

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Schritt 6.1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Schritt 6.1.1.1.6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Kombiniere $- V$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Subtrahiere $2 V$ von $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.8

Faktorisiere $V$ aus $V^{3} + V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.8.1

Faktorisiere $V$ aus $V^{3}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.8.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.8.3

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.8.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.10

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Schritt 6.1.1.3.3.11

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Schritt 6.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 1$ .

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Schritt 6.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Schritt 6.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 6.2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.1.2

Dividiere $A (V^{2} + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.4.2

Dividiere $(B V + C) (V)$ durch $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Schritt 6.2.2.1.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Schritt 6.2.2.1.1.5.6

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1.5.6.1

Bewege $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Schritt 6.2.2.1.1.5.6.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Schritt 6.2.2.1.1.6

Bewege $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $V^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $V$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $V$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.4

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 6.2.2.1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Schritt 6.2.2.1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Schritt 6.2.2.1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.5.2.1

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2.2

Addiere $- V$ und $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{V}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Sei $u = V^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 V d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Es sei $u = V^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.5.1.1

Differenziere $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V^{2} + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$2 V + 0$

Schritt 6.2.2.5.1.5

Addiere $2 V$ und $0$ .

$2 V$

Schritt 6.2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache.

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Ausdruck in der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1.1

Kombiniere $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ mit $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Schritt 8.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 8.4

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 8.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

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Schritt 8.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 8.5.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 8.5.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{x}$ an.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 8.5.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Schritt 8.5.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Schritt 8.5.1.3.2

Kombinieren.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Schritt 8.5.1.3.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Schritt 8.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Schritt 8.7

Schreibe $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Schritt 8.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.8.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 8.8.2.1

Zerlege $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ durch Herausziehen von $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ aus dem Logarithmus.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.2.3

Mutltipliziere $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ mit $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Schritt 8.8.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Schritt 8.8.6

Multipliziere $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

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Schritt 8.8.6.1

Kombiniere $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ und $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.6.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.8.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.8.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.7.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Schritt 8.8.8

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 8.8.8.1

Zerlege $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ durch Herausziehen von $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ aus dem Logarithmus.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.8.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Schritt 8.8.8.3

Mutltipliziere $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ mit $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$