Analysis Beispiele

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 4 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = 4 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = 2 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (2 x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (2 x^{2} + K)$