Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ um.

$y = (\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{x K}{4}$ und $\frac{K x}{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $K$ um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{K x}{4}$ und $\frac{K x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Bewege $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 3.4.2

Stelle $\frac{K x}{2}$ und $\frac{K^{2}}{4}$ um.

$y = \frac{K^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = K + \frac{K x}{2} + \frac{x^{2}}{4}$