Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.6

Vereinfache $- v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 6.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

Schritt 6.1.3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

Schritt 6.1.3.4

Vereinfache $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ um.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

Schritt 6.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 6.7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.7.4

Vereinfache.

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Schritt 6.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.7.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 6.7.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.7.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.7.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.7.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 6.7.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Schritt 6.7.8

Schreibe $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ als $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ um.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Schritt 6.7.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Schritt 6.7.10

Vereinfache.

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Schritt 6.7.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Schritt 6.7.10.2

Multipliziere $- (- x e^{- x})$ .

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Schritt 6.7.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Schritt 6.7.10.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Schritt 6.7.10.3

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

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Schritt 6.7.10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Schritt 6.7.10.3.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 6.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 6.8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 6.8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$