Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (10 - x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $- 1$ für $y$ in $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ ersetzt wird.

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = - 1$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = - 1$

Schritt 5

Setze $- 1$ für $K$ in $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 1$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Schritt 5.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$