Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x e^{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x e^{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$y + C_{1} = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = e^{x} x - e^{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = e^{x} x - e^{x} + K$