Analysis Beispiele

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} - \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- \sin (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (y)$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{1}{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = \frac{1}{y}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = \frac{1}{y}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $\frac{1}{y} + 0$ durch $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 6

Mutltipliziere $1$ mit $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - y \sin (y) - x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- y \sin (y)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- y \sin (y)$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

Schritt 13.6

Vereinfache.

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $\int \cos (y) d y$ mit $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

Schritt 13.7

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

Schritt 13.8

Schreibe $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ als $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ um.

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Schritt 15.2

Multipliziere $- (- y \cos (y))$ .

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$