Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{3}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{3}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{3})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{3} y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$x^{3} y = e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = e^{x} + C$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = e^{x} + C$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$