Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\cos^{2} (y)$ aus $\cos (x) \cos^{2} (y)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (x) + K = \tan (y)$ um.

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ um.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Schritt 3.5

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\tan (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Schritt 3.6

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3.7

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Schritt 3.8

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Schritt 3.9

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\tan (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Schritt 3.10

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3.11

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $\frac{π}{4}$ für $y$ in $y = \arctan (\sin (x) + K)$ ersetzt wird.

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ um.

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $K$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache $\sin (0) + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Schritt 5.3.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Schritt 5.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Schritt 5.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Schritt 5.6

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Entferne die Klammern.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Schritt 5.6.2

Entferne die Klammern.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $0.90333911$ von $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Schritt 5.7

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$