Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- \frac{4 y^{2}}{x^{3}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, x^{2}, 1$

Schritt 3.1.2

Da $y, x^{2}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $y^{1}, x^{2}$ .

Schritt 3.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.1.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.1.6

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.1.8

Das kgV von $y^{1}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y \cdot x \cdot x$

Schritt 3.1.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.9.1

Bewege $x$ .

$y \cdot (x \cdot x)$

Schritt 3.1.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y \cdot x^{2}$

$y x^{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ mit $y x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \frac{2}{x^{2}} + K$ mit $y x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{y} (y (x^{2})) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} (y x^{2}) = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (y x^{2}) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{2}$ heraus.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} y) + K (y x^{2})$

Schritt 3.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} = 2 y + K (y x^{2})$

$- x^{2} = 2 y + K y x^{2}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y + K y x^{2} = - x^{2}$ um.

$2 y + K y x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y + K y x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \cdot 2 + K y x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y x^{2}$ heraus.

$y \cdot 2 + y (K x^{2}) = - x^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (K x^{2})$ heraus.

$y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ durch $2 + K x^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 + K x^{2}) = - x^{2}$ durch $2 + K x^{2}$ .

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + K x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 + K x^{2})}{2 + K x^{2}} = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2 + K x^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{2 + K x^{2}}$