Analysis Beispiele

$(3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}) d x + (y + 3 x^{3} y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{3}$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{4}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 5 x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $9 x^{2} y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y + 3 x^{3} y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 3 x^{3} y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 3 x^{3} y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 y^{2} (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 9 y^{2} x^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $9 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $9 y^{2} x^{2}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $9 x^{2} y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $9 x^{2} y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$9 x^{2} y^{2} = 9 x^{2} y^{2}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{4}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 5.2

Da $3 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 y^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{4} d x$

Schritt 5.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{4} d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - 5 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 5.7.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x^{5}}{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- 5 x^{5}}{5} + C$

Schritt 5.7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 5.7.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{5}$ heraus.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5} + C$

Schritt 5.7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 (1)} + C$

Schritt 5.7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{5 (- x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Schritt 5.7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + \frac{- x^{5}}{1} + C$

Schritt 5.7.6.2.4

Dividiere $- x^{5}$ durch $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{5}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.4

Da $- x^{5}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{5}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{3} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $3 x^{3} y^{2}$ und $0$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} = y + 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3 x^{3} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + 3 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{3} y^{2}$ von $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} - x^{5} + \frac{y^{2}}{2} + C$