Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{y}{2 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Schritt 1.4

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Schritt 1.4.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

Schritt 6.1.1.1.2

Multipliziere $V^{2}$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.2.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

Schritt 6.1.1.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

Schritt 6.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $\frac{V^{3}}{2}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Mutltipliziere $V^{3}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V^{3}}$ .

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{3}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 3}$ nach $V$ gleich $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{V^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 6.3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 V^{2}, 1, 1$

Schritt 6.3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 V^{2}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ mit $2 V^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ mit $2 V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V^{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 V^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.2

Vereinfache $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.3.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.4

Vereinfache.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

Schritt 6.3.3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

Schritt 6.3.3.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ um.

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

Schritt 6.3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ um.

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

Schritt 6.3.4.2

Faktorisiere $V^{2}$ aus $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.4.2.1

Faktorisiere $V^{2}$ aus $2 C V^{2}$ heraus.

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

Schritt 6.3.4.2.2

Faktorisiere $V^{2}$ aus $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ heraus.

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

Schritt 6.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ durch $\ln (| x |) + 2 C$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ durch $\ln (| x |) + 2 C$ .

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Schritt 6.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| x |) + 2 C$ .

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Schritt 6.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Schritt 6.3.4.3.2.1.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Schritt 6.3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

Schritt 6.3.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Schritt 6.3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Schritt 6.3.4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Schritt 6.3.4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

$V = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}, - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 8.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}}$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x, y = - \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + C}} x$