Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $x e^{y}$ heraus.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Schritt 3.3

Zerlege $\ln (x^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Schritt 3.4

Vereinfache $4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$