Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- y)$ heraus.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2 - 2 y$ mit $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 2 y$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Schritt 1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Schritt 1.2.4.2

Dividiere $x^{2} + 1$ durch $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $\frac{x^{3}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Schritt 3.3.4

Bewege $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Schritt 3.3.5

Stelle $- 3 y^{2}$ und $- x^{3}$ um.

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 6$ und $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $12$ aus $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.5.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.2

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.3

Faktorisiere $12$ aus $- 36 K$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.4

Faktorisiere $12$ aus $- 36 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3) + 12 (- x^{3})$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.6

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.7

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ als $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ um.

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Schritt 3.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$