Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (0) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cos (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = - \cos (x) + K$ ersetzt wird.

$5 = - \cos (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \cos (0) + K = 5$ um.

$- \cos (0) + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 5$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 + 1$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ und $1$ .

$K = 6$

Schritt 5

Setze $6$ für $K$ in $y = - \cos (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $6$ .

$y = - \cos (x) + 6$