Analysis Beispiele

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} y + 2 y + 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 x^{2} + 2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x^{2} + 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 x^{2} + 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $6 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 x^{3} + 2 x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x^{3} + 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.2.6

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Schritt 5.4

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.4.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 5.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 5.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 5.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 5.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 5.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 5.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.1

Vereinfache $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.11.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Schritt 5.11.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x^{2} y + 2 y + 5$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x^{2} y + 2 y + 5$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 x^{3} + 2 x$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2 x^{3} + 2 x$ mit $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} + 2 x$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 2 x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.2.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x^{2} y + 2 y$ heraus.

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Schritt 12.1.2.2.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2.2.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2.2.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ heraus.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 12.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.2.2.2.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $0$ und $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{5}{x^{2} + 1}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 13.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 13.4

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 13.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 13.6

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Schritt 13.7

Vereinfache.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$