Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$y' - y = 1$

Schritt 2

Ermittle $y'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = e^{x}$

Schritt 3

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1 = 1$

Schritt 5

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = e^{x} - 1$ ist ein Lösung von $y' - y = 1$