Analysis Beispiele

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + x y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

Schritt 1.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.2.2

Da $5 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

Schritt 2.4

Da $y^{3} \sin (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3} \sin (y)$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2} x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 y^{2} x + 2 y$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{2} + x y^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2} + x y^{3}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y^{2} x - 3 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y^{2} x$ heraus.

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ heraus.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + x y^{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ heraus.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y (- y x - 1)$ heraus.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} (1 + x y)$ heraus.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

Schritt 4.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x y - 1$ und $x y + 1$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6.4

Schreibe $- (x y + 1)$ als $- 1 (x y + 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

Schritt 4.3.6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Schritt 4.3.8

Ersetze $M$ durch $y^{2} + x y^{3}$ .

$- \frac{3}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| y |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2} + x y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y^{2} + x y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + x y^{3}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ heraus.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 6.7.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $5 y^{2}$ heraus.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.7.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.4

Kombiniere $\frac{1}{y^{2}}$ und $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 6.7.5.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} \sin (y)$ heraus.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

Schritt 6.7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Schritt 8.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Schritt 8.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.4

Da $\frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.6.2.2

Addiere $- \frac{x}{y^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 11.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{5}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

Schritt 12.1.1.2

Addiere $\frac{x}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

Schritt 12.1.1.3

Subtrahiere $\sin (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- \frac{x}{y^{2}}$ und $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

Schritt 12.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.2.1

Addiere $\frac{5}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $\sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{5}{y} + \sin (y)$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Schritt 13.4

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

Schritt 13.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

Schritt 13.6

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

Schritt 13.7

Vereinfache.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache $5 \ln (| y |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$