Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

Schritt 1.2.5

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

Schritt 1.2.5.2

Füge Klammern hinzu.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

Schritt 1.2.5.3

Stelle $\cos (y)$ und $x \sec (y)$ um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

Schritt 1.2.5.4

Füge Klammern hinzu.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe $2 \cos (y) x \sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

Schritt 1.2.5.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\sin (y) = x^{2} + K$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (x^{2} + K)$