Analysis Beispiele

$y (x - 1) d y - x (y - 1) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $x (y - 1) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y (x - 1) d y = x (y - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $y (x - 1)$ heraus.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{y - 1}$ und $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y - 1$ aus $(x - 1) (y - 1)$ heraus.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y - 1$ aus $x (y - 1)$ heraus.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{x - 1} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{x - 1}$ und $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividiere $y$ durch $y - 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Schritt 4.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y - 1$

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Schritt 4.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Schritt 4.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.4

Sei $u_{1} = y - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Es sei $u_{1} = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.4.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $x$ durch $x - 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Schritt 4.3.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Schritt 4.3.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Schritt 4.3.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 4.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 4.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3.4.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.3.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y + \ln (| y - 1 |) = x + \ln (| x - 1 |) + C$