Analysis Beispiele

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y e^{x y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Addiere $0$ und $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + x e^{x y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Schritt 2.2.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $e^{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x y + e^{x y}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $x y e^{x y} + e^{x y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

Schritt 5.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

Schritt 5.4

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = y d x$ , folglich $\frac{1}{y} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.4.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 5.4.1.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y$

Schritt 5.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Schritt 5.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Schritt 5.6

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y$ .

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

Schritt 5.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

Schritt 5.10

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{x y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

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Schritt 8.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 8.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $e^{x y} x$ .

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 8.5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x e^{x y}$ von $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Schritt 10.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$