Analysis Beispiele

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $x^{2} a^{2}$ als ${(x a)}^{2}$ um.

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

Schritt 3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

Schritt 3.2.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

Schritt 3.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $a$ aus $x^{2} a$ heraus.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $a$ .

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $a$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $a (- x^{- 1} + C_{2})$ als $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{a}{x} + K$