Analysis Beispiele

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x - y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- x + 2 y = 2 x - y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- x + 2 y = 2 x - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- x + 2 y$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x - y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} - x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} - x y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.3

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.5

Addiere $2 y$ und $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x + 3 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (y)$ heraus.

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Schritt 4.3.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Schritt 4.3.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + y$ und $x - y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Schritt 4.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- x)$ heraus.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x^{2} - x y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 6.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 6.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Schritt 8.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Schritt 8.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

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Schritt 11.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ und $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - \frac{y^{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.5

Da $- \frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.6

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 11.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.10

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.11

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.12

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.16

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.17

Um $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.19

Multipliziere $x^{- 3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.19.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.3.19.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.4

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.7.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.12

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.13

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.5.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.16

Subtrahiere $2 y$ von $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.17

Mutltipliziere $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.18

Kombinieren.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.5.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.21

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.5.3.21.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 11.5.3.21.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.21.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.21.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.22

Um $\frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Schritt 12.1.2

Vereinfache $y (y - x)$ .

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Schritt 12.1.2.1

Forme um.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Schritt 12.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Schritt 12.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1.2.4.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Schritt 12.1.2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Schritt 12.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Schritt 12.1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

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Schritt 12.1.3.3.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Schritt 12.1.3.3.2

Addiere $- y x$ und $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Schritt 12.1.3.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- y x$ und $x y$ neu an.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Schritt 12.1.3.3.4

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 12.1.4

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Schritt 12.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 12.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Schritt 12.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Schritt 12.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.4.3.1

Dividiere $0$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y - \frac{y^{2}}{2}$ heraus.

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Schritt 15.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y^{2}}{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y (- \frac{y}{2})$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 15.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $y$ und $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 15.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 15.6

Kombinieren.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 15.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$