Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} - 18 x y - 9 x = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Addiere $18 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} - 9 x = 18 x y$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $9 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \frac{d y}{d x} = 18 x y + 9 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 18 x y + 9 x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} = 18 x y + 9 x$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{18 x y}{2} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{18 x y}{2} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x y}{2} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (9 x y)}{2} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (9 x y)}{2 (1)} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (9 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x y}{1} + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.4

Dividiere $9 x y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x y + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x y + \frac{9 x}{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 9 x (y) + \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $9 x$ aus $\frac{9 x}{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 9 x (y) + 9 x \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (y) + 9 x \frac{1}{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 9 x (y + \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.2

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x (y \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x (\frac{y \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = 9 x \frac{y \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x \frac{2 y + 1}{2}$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.6.1

Kombiniere $9$ und $\frac{2 y + 1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{9 (2 y + 1)}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{9 (2 y + 1)}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (9 (2 y + 1))}{2}$

Schritt 1.2.7

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 9 (2 y + 1)}{2}$

Schritt 1.2.8

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \cdot x (2 y + 1)}{2}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $9$ mit $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x (2 y + 1)}{2}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{2} (2 y + 1)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} (\frac{9 x}{2} (2 y + 1))$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2 y + 1$ aus $\frac{9 x}{2} (2 y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{9 x}{2})$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) \frac{9 x}{2})$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{9 x}{2}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y + 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{9 x}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{9}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{9}{2} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{9}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{9}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{9}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{9}{4} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{9}{4} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{9}{4} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{9}{4} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{9}{4} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{9}{4} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{9}{4} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{9 x^{2}}{4} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{9 x^{2}}{4} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{9 x^{2}}{2 (2)} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{9 x^{2}}{2} + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{9 x^{2}}{2} + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 2 y + 1 | = e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}$ um.

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.3.1.1.1

Um $2 C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + 2 C \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.1.1.2

Kombiniere $2 C$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2} + 2 C \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2} + 4 C}{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2} + 4 C}{2}} - 1}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 x^{2} + C}{2}} - 1}{2}$