Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Schritt 3.3.4

Stelle $3 y^{2}$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 2$ und $c = - 4 x^{2} - 2 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 + 48 x^{2} + 24 K$ heraus.

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Schritt 3.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $24 K$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.7

Schreibe $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ als $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ um.

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Schritt 3.6.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.7.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$