Analysis Beispiele

$e^{x} d x - y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $e^{x} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y d y = - e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (- e^{x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x} - 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$