Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 1.3.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.4.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$ um.

$- 1 = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ um.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K$ heraus.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$