Analysis Beispiele

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ durch ${(1 + x)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ durch ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + y)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ als $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 + y, 1 + x, 1$

Schritt 3.1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.1.5

Der Teiler von $1 + y$ ist $1 + y$ selbst.

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.6

Der Teiler von $1 + x$ ist $1 + x$ selbst.

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.7

Das kgV von $1 + y, 1 + x$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(1 + y) (1 + x)$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ mit $(1 + y) (1 + x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ mit $(1 + y) (1 + x)$ .

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1 + y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1 + x}$ in den Zähler.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + y) (1 + x)$ heraus.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.4

Multipliziere $(1 + y) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

Schritt 3.2.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Schritt 3.2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Schritt 3.2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

Schritt 3.2.3.1.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

Schritt 3.2.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

Schritt 3.2.3.1.7

Mutltipliziere $K$ mit $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ um.

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $K x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

Schritt 3.3.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 - x + 1 - K - K x$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

Schritt 3.3.2.4.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y + K y + K y x$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $K y x$ heraus.

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y K$ heraus.

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ heraus.

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ durch $- 1 + K + K x$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ durch $- 1 + K + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1 + K + K x$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - K$ heraus.

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- K x$ heraus.

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + K) - (K x)$ heraus.

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.7

Schreibe $- (x + K + K x)$ als $- 1 (x + K + K x)$ um.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- K)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

Schritt 3.3.4.3.2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $K x$ heraus.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

Schritt 3.3.4.3.2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1 - K) - (- K x)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Schritt 3.3.4.3.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Schritt 3.3.4.3.2.14

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$