Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 1.5

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.1

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Schritt 1.6.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $y$ .

$\frac{2 y + 0}{y}$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{2 y}{y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{y}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int 2 d x}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{2 x}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2} + x$ mit $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $y$ mit $e^{2 x}$ .

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = y e^{2 x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $e^{2 x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $e^{2 x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 11.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{2 y^{2}}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.3.11.2

Dividiere $y^{2} e^{2 x}$ durch $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $y^{2} e^{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $y^{2} e^{2 x}$ von $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.5

Vereinfache.

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Schritt 13.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.5.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.6

Da $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.7

Vereinfache.

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Schritt 13.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.7.3

Mutltipliziere $\int e^{2 x} (x) d x$ mit $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.9

Vereinfache.

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Schritt 13.9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.9.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.11

Entferne die Klammern.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.12

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 13.12.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 13.12.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 13.12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.13

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.15

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Schritt 13.15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.16

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

Schritt 13.17

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.18

Vereinfache.

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Schritt 13.18.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.18.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 13.19

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 13.20

Entferne die Klammern.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Schritt 13.21

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.21.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 13.21.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 13.21.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.21.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.21.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.21.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 13.22

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 13.23

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 13.24

Vereinfache.

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Schritt 13.24.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.24.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.25

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 13.26

Vereinfache.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 13.27

Vereinfache.

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Schritt 13.27.1

Addiere $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ und $\frac{x e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 13.27.2

Addiere $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ und $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 13.27.3

Um $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Schritt 13.27.4

Kombiniere $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.27.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.27.6

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

Schritt 13.27.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Schritt 13.27.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

Schritt 13.27.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 13.27.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{u_{2}}$ heraus.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

Schritt 13.27.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.27.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

Schritt 13.27.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

Schritt 13.27.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

Schritt 13.27.9.2.4

Dividiere $- e^{u_{2}}$ durch $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

Schritt 13.27.10

Subtrahiere $e^{u_{2}}$ von $e^{u_{1}}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

Schritt 13.27.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 13.27.11.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

Schritt 13.27.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.27.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Schritt 13.27.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

Schritt 13.27.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

Schritt 13.27.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

Schritt 13.27.12

Addiere $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ und $0$ .

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.28

Stelle die Terme um.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

Schritt 15.1.4

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$