Analysis Beispiele

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y^{2} + y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{2} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{2}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 y^{3} - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3} - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Da $2 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 x y + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x y + 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 x y + 1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + y$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - (4 x y + 1)$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Stelle $- 1$ und $- (4 x y + 1)$ um.

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x y + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x y$ heraus.

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x y) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{2 x y^{2} + y}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $2 x y^{2} + y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y}$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y^{1}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x y) + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x y + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y^{2} + y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x y^{2} + y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $2 x y^{2} + y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x y) + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (2 x y) + y^{1}}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y (2 x y) + y \cdot 1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x y) + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2 y^{3} - x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2 y^{3} - x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x y + 1}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{2 x y + 1}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} + \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.3.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

Schritt 8.7.2

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{x}{y} + C$

Schritt 8.8

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Differenziere.

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Schritt 11.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$0 - \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Subtrahiere $\frac{x}{y^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3} - x)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3}) - - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} - - x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 12.1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + 1 x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + x}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x - 2 y^{3} + x$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- 2 y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{1} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.4

Dividiere $- 2 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 y = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Schritt 13.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + y^{2} + C$