Analysis Beispiele

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $3 y$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $\frac{- 2 x}{y}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Schritt 1.5

Stelle $x$ und $\frac{- 2}{y}$ um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = \frac{- 2}{y}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{y}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{2}}$ und $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{y}$ und $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{y}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Schritt 3.3.4

Kombinieren.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Schritt 3.3.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 3.3.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Schritt 3.3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Schritt 3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 7.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 7.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Schritt 7.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Schritt 7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Schritt 7.6.2

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Schritt 7.6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Schritt 7.6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Schritt 7.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1.1

Kombiniere $y^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 7.8.1.2

Bringe $y^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Schritt 7.8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Schritt 7.8.3

Vereinfache.

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Schritt 7.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 7.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 7.8.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Subtrahiere $3 \ln (| y |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Schritt 8.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{2}}$ und $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Schritt 8.1.4.2

Vereinfache $- 3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $\ln ({| y |}^{3})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Schritt 8.2.2

Addiere $\frac{1}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 8.2.3

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.4.2.1.3.1

Stelle die Faktoren in $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ um.

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3.2

Bewege $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Schritt 8.4.2.1.3.3

Stelle $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ und $C y^{2}$ um.

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$