Analysis Beispiele

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} y$ nach $y$ gleich $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $x e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x e^{x} y$ nach $y$ gleich $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + e^{x}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $x e^{x} + e^{x}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + e^{x}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x e^{x} + e^{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $x e^{x} + e^{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x e^{x} + 2$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x e^{x} + 2) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.3.8

Addiere $x e^{x} + e^{x}$ und $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 8.5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Stelle die Faktoren in $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Schritt 9.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Schritt 9.1.2.3.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Schritt 9.1.2.3.2

Addiere $1 + y e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Schritt 9.1.2.3.3

Subtrahiere $y e^{x}$ von $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Schritt 9.1.2.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Schritt 10.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ um.

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$