Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y - x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - y = - x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - y = - x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{- x}{x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = - 1$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = - 1$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - \frac{1}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = - (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\frac{1}{x} y = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(- \ln (| x |) + C) x$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \ln (| x |) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $- \ln (| x |) x + C x$ um.

$y = - x \ln (| x |) + C x$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Stelle $- x \ln (| x |)$ und $C x$ um.

$y = C x - x \ln (| x |)$