Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = y^{- 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $- \frac{y}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $x y^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $y \cdot y^{2}$ als $y^{3}$ um.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.4.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombinieren.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.5.2

Kombinieren.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

Schritt 1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y + y^{2}$ .

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Schritt 1.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

Schritt 1.5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Dann ist $d u = - 3 y^{2} d y$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 - y$ und $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Schritt 2.2.1.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.2.1.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.2.1.1.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.1.1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.1.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.2.1.1.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

Schritt 2.2.1.1.3.11.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

Schritt 2.2.1.1.3.11.3

Schreibe $- 1 (1 + y + y^{2})$ als $- (1 + y + y^{2})$ um.

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.1.1.4.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.9

Addiere $- y$ und $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.11

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.12

Addiere $y - 2 y^{2}$ und $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.13

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.14

Addiere $- 2 y^{2}$ und $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.5.15

Subtrahiere $y^{2}$ von $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.6.1

Bewege $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.2.1.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.2

Addiere $1 + y^{2}$ und $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.3

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.2

Kombiniere $\ln (| 1 - y^{3} |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.4

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2.4.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - y^{3} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ um.

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ durch ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 - y^{3} |$ durch $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 3.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Schritt 3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ als $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ um.

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Schritt 3.7.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$